ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ทั้ง 13 ชนิด (และคุณสมบัติ)

คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในสาขาวิชาทางด้านเทคนิคและวัตถุประสงค์ที่มีอยู่มากที่สุด มันเป็นกรอบหลักที่สาขาวิทยาศาสตร์อื่น ๆ สามารถทำการวัดและใช้งานกับตัวแปรขององค์ประกอบที่พวกเขาศึกษาในลักษณะที่นอกเหนือจากการมีวินัยในตัวมันเองมันควรจะอยู่ถัดจากตรรกะหนึ่งในฐานของ ความรู้ทางวิทยาศาสตร์.

แต่ในวิชาคณิตศาสตร์มีการศึกษากระบวนการและคุณสมบัติที่หลากหลายมากซึ่งอยู่ระหว่างพวกเขาความสัมพันธ์ระหว่างสองมิติหรือโดเมนที่เชื่อมโยงซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นรูปธรรมนั้นเกิดขึ้นได้ด้วยขอบคุณ มันเกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งจะไม่มีผลกระทบหรือเกี่ยวข้องกัน.

นั่นคือเหตุผล เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ประเภทต่างๆ, ที่เราจะพูดคุยตลอดบทความนี้.

• บทความที่เกี่ยวข้อง: "14 ปริศนาคณิตศาสตร์ (และวิธีแก้ปัญหา)"

หน้าที่ทางคณิตศาสตร์: อะไรคือ?

ก่อนที่จะสร้างฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประเภทหลักที่มีอยู่จะมีประโยชน์ในการแนะนำเล็กน้อยเพื่อให้ชัดเจนสิ่งที่เรากำลังพูดถึงเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชั่น.

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดเป็น การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรหรือขนาด. ตัวแปรเหล่านี้เป็นสัญลักษณ์จากตัวอักษรสุดท้ายของตัวอักษร X และ Y และตามลำดับจะได้รับชื่อโดเมนและโคโดเมน.

ความสัมพันธ์นี้แสดงออกมาในลักษณะที่การดำรงอยู่ของความเสมอภาคระหว่างองค์ประกอบที่วิเคราะห์ทั้งสองนั้นถูกแสวงหาและโดยทั่วไปแล้วมันบอกเป็นนัยว่าสำหรับแต่ละค่าของ X มีผลลัพธ์เดียวของ Y และในทางกลับกัน (แม้ว่าจะมีการจำแนกประเภทของฟังก์ชั่น ตามข้อกำหนดนี้).

นอกจากนี้ฟังก์ชั่นนี้ อนุญาตให้สร้างการแสดงในรูปแบบของกราฟิก ซึ่งจะช่วยให้การทำนายพฤติกรรมของหนึ่งในตัวแปรจากอื่น ๆ เช่นเดียวกับข้อ จำกัด ที่เป็นไปได้ของความสัมพันธ์นี้หรือการเปลี่ยนแปลงในพฤติกรรมของตัวแปรดังกล่าว.

มันเกิดขึ้นเมื่อเราบอกว่ามีบางอย่างขึ้นอยู่กับหรืออยู่บนพื้นฐานของสิ่งอื่น (ตัวอย่างเช่นถ้าเราพิจารณาว่าเกรดของเราในการทดสอบทางคณิตศาสตร์เป็นหน้าที่ของจำนวนชั่วโมงที่เราศึกษา) เมื่อเราพูดถึงฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ เรากำลังระบุว่าการได้รับค่าที่แน่นอนนั้นขึ้นอยู่กับมูลค่าของอีกอันที่เชื่อมโยงกับมัน.

ในความเป็นจริงตัวอย่างก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นโดยตรงในรูปแบบของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (แม้ว่าในโลกแห่งความจริงความสัมพันธ์จะซับซ้อนกว่ามากเนื่องจากขึ้นอยู่กับปัจจัยหลายอย่างและไม่เพียง แต่ในจำนวนชั่วโมงที่ศึกษา).

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประเภทหลัก

ที่นี่เราจะแสดงฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์บางประเภทหลักซึ่งแบ่งออกเป็นกลุ่มต่าง ๆ ตามพฤติกรรมและประเภทของความสัมพันธ์ที่กำหนดขึ้นระหว่างตัวแปร X และ Y.

1. ฟังก์ชันเกี่ยวกับพีชคณิต

ฟังก์ชั่นพีชคณิตมีความเข้าใจเป็นชุดของประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นด้วยการสร้างความสัมพันธ์ที่มีองค์ประกอบเป็นทั้ง monomials หรือ polynomials และ ซึ่งความสัมพันธ์นั้นได้มาจากประสิทธิภาพของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างง่าย: การลบการบวกการคูณการหารความสามารถหรือการจัดตั้ง (การใช้ราก) ภายในหมวดหมู่นี้เราสามารถค้นหาได้หลายประเภท.

1.1 ฟังก์ชั่นที่ชัดเจน

ฟังก์ชั่นที่ชัดเจนนั้นเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ประเภทที่สามารถรับความสัมพันธ์ได้โดยตรงเพียงแค่แทนที่โดเมน x สำหรับค่าที่สอดคล้องกัน มันเป็นฟังก์ชั่นที่ตรงไปตรงมา เราพบว่าการทำให้เท่าเทียมกันระหว่างค่าของและความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่โดเมน x มีอิทธิพล.

1.2 ฟังก์ชั่นโดยนัย

ซึ่งแตกต่างจากในหน้าที่ก่อนหน้านี้ในฟังก์ชั่นโดยนัยความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและโคโดเมนไม่ได้ถูกจัดตั้งขึ้นโดยตรงมีความจำเป็นในการดำเนินการแปลงและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ เพื่อหาวิธีที่ x และ y เกี่ยวข้อง.

1.3 ฟังก์ชันพหุนาม

ฟังก์ชันพหุนามซึ่งบางครั้งก็เข้าใจตรงกันกับฟังก์ชันพีชคณิตและอื่น ๆ ในฐานะ subclass ของเหล่านี้รวมชุดประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ ในการรับความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนกับโดเมนนั้นจำเป็นต้องดำเนินการต่าง ๆ กับชื่อพหุนาม ระดับที่แตกต่างกัน.

ฟังก์ชั่นเชิงเส้นหรือเกรดแรกอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการแก้ปัญหาและเป็นหนึ่งในกลุ่มแรกที่ได้รับการเรียนรู้ ในนั้นมีความสัมพันธ์ง่ายๆที่ค่าของ x จะสร้างค่าของ y และการแสดงกราฟิกของมันคือเส้นที่ต้องตัดแกนพิกัดในบางจุด การเปลี่ยนแปลงเพียงอย่างเดียวคือความชันของเส้นดังกล่าวและจุดที่มันตัดแกนเพื่อรักษาความสัมพันธ์ประเภทเดียวกันเอาไว้.

ภายในนั้นเราสามารถค้นหาฟังก์ชันเอกลักษณ์ได้, ที่มีการระบุระหว่างโดเมนและโดเมน ในวิธีที่ค่าทั้งสองเหมือนกันเสมอ (y = x), ฟังก์ชันเชิงเส้น (ซึ่งเราสังเกตการเปลี่ยนแปลงของความชัน, y = mx) และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง (ซึ่งเราสามารถหาการเปลี่ยนแปลงในจุดตัดของ abscissa and slope, y = mx + a).

ฟังก์ชันระดับกำลังสองหรือสองคือฟังก์ชันที่แนะนำพหุนามซึ่งตัวแปรเดียวมีพฤติกรรมที่ไม่เป็นเชิงเส้นในช่วงเวลาหนึ่ง (แทนที่จะเกี่ยวข้องกับโคโดเมน) จากขีด จำกัด เฉพาะฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดในหนึ่งในแกน การแสดงกราฟิกถูกสร้างขึ้นเป็นรูปโค้งและแสดงทางคณิตศาสตร์เป็น y = ax2 + bx + c.

ฟังก์ชั่นคงที่เป็นสิ่งที่ จำนวนจริงเดียวคือตัวกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและโคโดเมน. นั่นคือไม่มีการเปลี่ยนแปลงจริงขึ้นอยู่กับค่าของทั้งสอง: โคโดเมนจะเป็นค่าคงที่เสมอไม่มีตัวแปรโดเมนที่สามารถแนะนำการเปลี่ยนแปลงได้ เพียงแค่ y = k.

• บางทีคุณอาจสนใจ: "Dyscalculia: ความยากลำบากในการเรียนรู้คณิตศาสตร์"

1.4 ฟังก์ชั่นที่มีเหตุผล

พวกเขาถูกเรียกว่าเป็นฟังก์ชั่นที่มีเหตุผลไปยังชุดของฟังก์ชั่นซึ่งค่าของฟังก์ชั่นจะถูกจัดตั้งขึ้นจากความฉลาดทางระหว่างพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ ในฟังก์ชั่นเหล่านี้โดเมนจะรวมตัวเลขทั้งหมดยกเว้นที่ลบล้างส่วนของการหารซึ่งจะไม่อนุญาตให้รับค่าและ.

ในฟังก์ชั่นประเภทนี้จะปรากฏข้อ จำกัด ที่รู้จักกันในชื่อ asymptotes, ซึ่งจะเป็นค่าเหล่านั้นอย่างแม่นยำซึ่งจะไม่มีค่าโดเมนหรือค่าโดเมน (นั่นคือเมื่อ y และ x เท่ากับ 0) ในข้อ จำกัด เหล่านี้การแทนภาพกราฟิกมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างของฟังก์ชันประเภทนี้: y = √ axe

1.5 ฟังก์ชั่นที่ไม่มีเหตุผลหรือรุนแรง

ชื่อของฟังก์ชันที่ไม่มีเหตุผลคือชุดของฟังก์ชันที่ฟังก์ชัน rational ถูกนำมาใช้ในรากศัพท์หรือราก (ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมเนื่องจากเป็นไปได้ว่ามันเป็นลูกบาศก์หรือมีเลขชี้กำลังอื่น).

เพื่อให้สามารถแก้ไขได้ เราต้องจำไว้ว่าการดำรงอยู่ของรากนี้มีข้อ จำกัด บางประการ, เช่นความจริงที่ว่าค่าของ x จะต้องทำให้ผลลัพธ์ของรูตเป็นค่าบวกและมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์.

1.6 ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดยชิ้นส่วน

ฟังก์ชันประเภทนี้คือฟังก์ชันที่ค่า y เปลี่ยนพฤติกรรมของฟังก์ชันโดยมีช่วงเวลาสองช่วงที่มีพฤติกรรมแตกต่างกันมากตามค่าของโดเมน จะมีค่าที่จะไม่เป็นส่วนหนึ่งของสิ่งนี้ซึ่งจะเป็นค่าที่พฤติกรรมของฟังก์ชั่นแตกต่างกัน.

2. ฟังก์ชั่นดีเยี่ยม

ฟังก์ชั่นที่ยอดเยี่ยมคือการเป็นตัวแทนทางคณิตศาสตร์ของความสัมพันธ์ระหว่างขนาดที่ไม่สามารถได้รับผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตและที่ มีความจำเป็นต้องดำเนินการกระบวนการคำนวณที่ซับซ้อนเพื่อให้ได้ความสัมพันธ์. ส่วนใหญ่จะรวมถึงฟังก์ชั่นเหล่านั้นที่จำเป็นต้องใช้อนุพันธ์อินทิกรัลลอการิทึมหรือที่มีประเภทของการเจริญเติบโตที่มีการเติบโตหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง.

2.1 ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตามที่ระบุโดยชื่อฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นชุดของฟังก์ชันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างโดเมนและโคโดเมนที่สร้างความสัมพันธ์การเติบโตในระดับเอ็กซ์โปเนนเชียลนั่นคือมีการเติบโตที่เร่งตัวมากขึ้น ค่าของ x คือเลขชี้กำลังนั่นคือวิธีการที่ ค่าของฟังก์ชั่นจะแตกต่างกันและเติบโตในช่วงเวลา. ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด: y = ax

2.2 ฟังก์ชั่นเข้าสู่ระบบ

ลอการิทึมของตัวเลขใด ๆ คือเลขชี้กำลังซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มฐานที่ใช้เพื่อให้ได้ตัวเลขที่ระบุ ดังนั้นฟังก์ชันลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันที่เราใช้เป็นโดเมนตัวเลขที่ต้องได้รับจากฐานที่เฉพาะเจาะจง. มันเป็นกรณีตรงข้ามและผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง.

ค่าของ x ต้องมากกว่าศูนย์และต่างจาก 1 เสมอ (เนื่องจากลอการิทึมใด ๆ ที่มีฐาน 1 เท่ากับศูนย์) การเติบโตของฟังก์ชันลดลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้น ในกรณีนี้ y = loga x

2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ประเภทของฟังก์ชันที่กำหนดความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างองค์ประกอบต่าง ๆ ที่ประกอบขึ้นเป็นรูปสามเหลี่ยมหรือรูปทรงเรขาคณิตและโดยเฉพาะความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่างมุมของรูป ภายในฟังก์ชั่นเหล่านี้เราจะพบการคำนวณไซน์โคไซน์แทนเจนต์เซแคนต์โคแทนเจนต์และโคเซแคนต์ก่อนค่า x.

การจำแนกประเภทอื่น

ชุดประเภทฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายข้างต้นคำนึงถึงว่าสำหรับแต่ละค่าของโดเมนค่าที่ไม่ซ้ำกันของโคโดเมนที่สอดคล้องกัน (นั่นคือแต่ละค่าของ x จะทำให้ค่าที่เฉพาะเจาะจงของ y) อย่างไรก็ตามแม้ว่าความจริงนี้มักจะถือว่าเป็นพื้นฐานและพื้นฐาน แต่ความจริงก็คือมันเป็นไปได้ที่จะหาบางอย่าง ประเภทของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่อาจมีความแตกต่างเท่าที่เกี่ยวข้องกับการติดต่อระหว่าง x และ y. โดยเฉพาะเราสามารถค้นหาประเภทของฟังก์ชั่นต่อไปนี้.

1. ฟังก์ชั่นการฉีด

ชื่อฟังก์ชั่นการฉีดคือประเภทของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างโดเมนและโคโดเมนซึ่งแต่ละค่าของโคโดเมนนั้นเชื่อมโยงกับค่าของโดเมนเท่านั้น นั่นคือ x จะสามารถมีค่าเดียวสำหรับค่าและกำหนดหรืออาจไม่มีค่า (นั่นคือค่าเฉพาะของ x อาจไม่เกี่ยวข้องกับ y).

2. ฟังก์ชั่น Surjective

ฟังก์ชั่นเหนือชั้นเป็นฟังก์ชันทั้งหมด องค์ประกอบหรือค่าของโคโดเมน (y) แต่ละรายการและทุกรายการเกี่ยวข้องกับอย่างน้อยหนึ่งโดเมน (x), แม้ว่าพวกเขาจะสามารถมากขึ้น ไม่จำเป็นต้องเป็นการฉีด (เพื่อให้สามารถเชื่อมโยงค่าหลาย ๆ ค่าของ x เข้ากับค่าเดียวกัน).

3. ฟังก์ชั่น Bijective

ประเภทของฟังก์ชั่นที่มีคุณสมบัติให้ทั้งแบบหัวฉีดและส่วนเกินถูกเรียกว่า ฉันหมายถึง, มีค่า x เดียวสำหรับแต่ละและ, และค่าโดเมนทั้งหมดสอดคล้องกับหนึ่งในโคโดเมน.

4. ฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่การฉีดและไม่เกิน

ฟังก์ชันประเภทนี้ระบุว่ามีหลายค่าของโดเมนสำหรับโคโดเมนที่ระบุ (นั่นคือค่าที่แตกต่างของ x จะให้เราเหมือนกัน y) ในเวลาเดียวกันกับที่ค่าอื่น ๆ ของ y ไม่ได้เชื่อมโยงกับค่าใด ๆ ของ x.

การอ้างอิงบรรณานุกรม:

• Eves, H. (1990) พื้นฐานและแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 3) โดเวอร์.
• Hazewinkel, M. ed. (2000) สารานุกรมคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์วิชาการ Kluwer.